例 4-2 如图所示楔形体右侧面受均布荷载 q 作用

作者:admin 来源:未知 点击数: 发布时间:2018年12月15日

  1-3 五个根基假定在成立弹性力学根基方程时有什么用处? 答:1、持续性假定:援用这一假定后,物体中的应力、应变和位移等物理 量就能够当作是持续的,因而,成立弹性力学的根基方程时就能够用坐标的 持续函数来暗示他们的变化纪律。 2、完全弹性假定:援用这一完全弹性的假定还包含形变与形变惹起的正应 力成反比的寄义,亦即二者成线性的关系,合适胡克定律,从而使物理方程 成为线、平均性假定:在该假定下,所研究的物体内部各点的物理性质明显都是 不异的。 因而, 反映这些物理性质的弹性常数 (如弹性模量 E 和泊松比 μ 等) 就不随位置坐标而变化。 4、各向同性假定:所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个标的目的上都是 不异的。进一步地说,就是物体的弹性常数也不随标的目的而变化。 5、小变形假定:我们研究物体受力后的均衡问题时,不消考虑物体尺寸的 改变而仍然按照本来的尺寸和外形进行计较。同时,在研究物体的变形和位 移时,能够将他们的二次幂或乘积略去不计,使得弹性力学中的微分方程都 简化为线性微分方程。 在上述假定下, 弹性力学问题都化为线性问题, 从而能够使用叠加道理。 2-1 已 知 薄 板 有 下 列 形 变 关 系 : 式中 A,B,C,D 皆为常数,试查抄在形变过程中能否合适持续前提,若满足并列出应力 分量表达式。 解: 1、 相容前提: 将形变分量带入形变协调方程(相容方程) 此中 所以满足相容方程,合适持续性前提。 2、 在平面应力问题中,用形变分量暗示的应力分量为 3、均衡微分方程 此中 若满足均衡微分方程,必需有 阐发:用形变分量暗示的应力分量,满足了相容方程和均衡微分方程前提, 若要求出常数 A,B,C,D 还需应力鸿沟前提。 例 2-2 如图所示为一矩形截面水坝, 其右侧面受静水压力(水的密度为 ρ), 顶部受集中力 P 感化。试写出水坝的应 力鸿沟前提。 解: 按照在鸿沟上应力与面力的关系 左侧面: 右侧面: 上下端面为小鸿沟面,使用圣维南道理,可列出三个积分的应力鸿沟前提。 上端面额面力向截面形心 O 简化,获得面力的主矢量和主矩别离为 y=0 坐标面,应力主矢量符号与面力主矢量符号相反;应力主矩与面力 主矩的转向相反。所以 下端面的面力向截面形心 D 简化,获得主矢量和主矩为 y=l 坐标面,应力主矢量、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号不网络彩票赌博会判刑吗异。 所以 阐发:1、与坐标轴平行的次要鸿沟只能成立两个等式,并且与鸿沟平 行的应力分量不会呈现。如在左、右侧面,不要插手 或 。 2、在大鸿沟上必需切确满足应力鸿沟前提,当在小鸿沟(次要鸿沟)上无 法切确满足时,能够使用圣维南道理使应力鸿沟前提近似满足,使问题的求 解大为简化。应力合成的主矢(主矩)符号的取法亦可用外力主矢(主矩) 的标的目的判断,二者标的目的分歧时去正号,反之取负号。 2-8 试列出题 2-8 图(a),题 2-8 图(b)所示问题的全数鸿沟前提。在其 端部鸿沟上,使用圣维南道理列出三个积分的应力鸿沟前提。 解: 图(a) 图(b) 1、 对于图(a)的问题 在次要鸿沟 上,应切确满足下列鸿沟前提: 在小鸿沟(次要鸿沟) 上,能切确满足下列鸿沟前提: 在 小 边 界 ( 次 要 边 界 ) 上 , 有 位 移 边 界 条 件 : 这两个位移鸿沟前提能够使用圣维南道理,改用三个积分的应力鸿沟前提来 取代, 当板厚 时, 2、 对于图(b)所示问题 在次要鸿沟 上,应切确满足下列鸿沟前提: 在次要鸿沟 厚 时, 上,使用圣维南道理列出三个积分的应力鸿沟前提,当板 在小鸿沟 (次要鸿沟) 上, 有位移鸿沟前提: 这两个位移鸿沟前提能够使用圣维南道理,改用三个积分的应力鸿沟前提来 取代, 2-17 设有矩形截面的悬臂梁,在自在端受有集中荷载 F,如题 2-17 所示,体 力能够不计。按照材料力学公式,写出弯应力 σx 和切应力 τxy 的表达式,并 取挤压应力 σy=0,然后证明,这些表达式满足均衡微分方程和相容方程,再 申明,这些表达式能否就暗示准确的解答。 解: 1、 矩形悬臂梁发生弯曲变形,肆意横截面上的玩具方程为 ,横截 面临 z 轴 ( 中性轴 ) 的惯性矩为 ,按照材料力学公式,弯应力 ;该截面上的剪力为 , 剪应力 ;并取挤压应力 。 2、 经验证,上述表达式能满足均衡微分方衡 也能满足相容方程 再调查鸿沟前提:在 件: 的次要鸿沟上,应切确满足应力鸿沟条 能满足。 在次要鸿沟 上,列出三个积分的应力鸿沟前提: 满足应力鸿沟前提。 在次要鸿沟 上,列出三个积分的应力鸿沟前提: 满足应力前提。因而,它们是该问题的准确解答。 例 3-1 如图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载感化,试取应力函数 求简支梁的应力分量(体力不计)。 解:1、相容前提: 代入应力函数,得: 由此得 于是应力函数可改写为 2、应力分量表达式 3、调查鸿沟前提:确定应力分量中的各系数 联立求解以上各式,得 再按照简支梁的端面前提确定常数 D,F。由圣维南道理得 可得 4、应力分量表达式 再带入式(f)得 例 3-2 图示悬臂梁,梁的横截面为矩形,其宽度取为 1,右端固定、左端自在, 荷载分布在自右端上,其合力为 P(不计体力) ,求梁的应力分量。 解:这是一个平面应力问题,采用半逆解法求解。 (1)拔取应力函数。由材料力学可知,悬臂梁任一截面上的弯矩方程 M(x) 与截面位置坐标 x 成反比, 而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标 y 成反比, 因而可设 (a) 式中 的为待定常数。将式(a)对 y 积分两次,得 (b) 式中的 容方程 , , 为 x 的待定函数,可由相容方程确定。将式(b)代入相 得 上式是 y 的一次方程,梁内所有的 y 值都应是满足它,可见它的系数和自在 项都必需为零,即 , 积分上二式,得 式中 数为 为待定的积分常数。将 , 代入式(b) ,得应力函 . (c) (2)应力分量的表达式 (3)调查应力鸿沟前提:以确定各系数,自在端无程度力;上、下部无荷载; 自在端的剪力之和为 P,得鸿沟前提 ,天然满足; ,得 ; 上式对 x 的任何值均应满足,因而得 即 , , ,得 X 取任何值均应满足,因而得 . 将式(e)代入上式积分,得 计较得 , ,横截面临 Z 轴的惯性矩。 此中 最初得应力分量为 3-3 试调查应力函数 能满足相容方程,并求出应力分 量(不计体力),画出题 3-2 图所示矩形体鸿沟上的面力分布(在次要鸿沟上暗示 出头具名力的主矢量和主矩),指出该应力函数所能处理的问题。 解 (1)相容前提: 将代入相容方程 (2)应力分量表达式 ,明显满足。 (3)鸿沟前提:在 次要鸿沟上,应切确定满足应力鸿沟前提 在次要鸿沟 x=o, x=l 上,使用圣维南道理,可列出三个积分的应力鸿沟前提 (a) (b) (c) 对于如图所示矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,由应力鸿沟前提式(a) (b)、(c)可知上边、下边无面力;而右边界上受有铅直力;左边界上有按线性变 化的程度面力合成为一力偶,和铅直面力。所以,能处理悬臂在自在端受集中力 感化的问题。 3-6 如题 3-6 图所示的墙,高度为 h,宽度为 b,hb,在两侧上遭到均布剪力 q 的感化,试用函数 求解应力分量。 o b/2 q q b/2 h x y 题3-6图 (hb) 解: (1)相容前提 将应力函数 代入相容方程 ,此中 , , 。 很明显满足相容方程。 (2)应力分量表达式 (3)调查鸿沟前提, 在次要鸿沟 即 上, 各有两个应切确满足的鸿沟前提, 在次要鸿沟 y=0 上, 只要 彩票是不是一个骗局A=B=0) ,可用积分的应力鸿沟前提取代 而的前提不成能切确满足(不然 . (4)把各应力分量代入鸿沟前提,得 应力分量为 3-7 设单元厚度的悬臂梁在左端遭到集中力和力矩感化, 体力能够不计, lh 如 题 3-7 图所示, 试用应力函数 求解应力分量。 M Fs Fs O h/2 h/2 l y (lh, x 解(1)相容前提 将 (2)应力分量表达式 代入相容方程,明显满足。 (3) 调查鸿沟前提,在次要鸿沟 件 上,各有两个应切确满足的鸿沟条 得 (a) 在次要鸿沟 x=0 上,只给出了面力的主矢量和主矩,使用圣维南道理,用三个积 分的应力鸿沟前提取代。留意 x=0 是负 x 面,由此得 (b) 由式(a)(b)解出 最初一个次要鸿沟前提(x=l 上),在均衡微分方程和上述鸿沟前提均已满足的 前提下,是必然满足的,故不必再校核。代入应力公式,得 3-9 设题 3-9 图中的简支梁只受重力感化,而梁的密度为 ,试用教材§3-4 中 的应力函数(e)求解应力分量,并画出截面上的应力分布图。 q ql l o h ql l y x 解 (1)应力函数为 (2)应力分量的表达式 这些应力分量是满足均衡微分方程和相容方程的,因而,若是可以或许选择恰当 的常数 A,B,…,K,使所有的鸿沟前提都满足,则应力分量式(b),(c),(d)就是 准确的解答。 (3)考虑对称性。由于 yz 面是梁和荷载的对称面,所以应力分布该当对称 于 yz 面。如许是 和(d)可见 是 x 的偶函数,而 是 x 的奇函数,于是由式(b) (4)调查鸿沟前提:在次要鸿沟 上,应切确满足应力鸿沟前提 将应力分量式(c)和(d)代入,并留意到前面已有 见这些鸿沟前提要求 ,可 联立求解获得 将以上已确定的常数代入式(b),式(c)和(d) ,得 考虑摆布两边的次要鸿沟前提。因为问题的对称性,只需考虑此中的一边, 例 如 右 边 。 梁 的 右 边 没 有 水 平 面 力 , x=l 时 , 不 论 y 取 任 何 值 ,都有 。由式(f)可见,这是不成能满足的,除 非 是均为零。因而,用多项式求解,只能要求 在这部门鸿沟上合成的 主矢量和主矩均为零,也就是要求 将式(f)代入式(i),得 积分当前得 将式(f)代入式(j) ,得 积分当前得 将 K,H 的值代入式(f),得 另一方面,梁左边的切应力 该当合成为反力 积分当前,可见这一前提是满足的。 将式(g),(h),(k)略加拾掇,得应力分量的最初解答 留意梁截面的宽度取为一个单元,可见惯性矩是 ,静矩是 。按照材料力学使用截面法求横截面的内力,可求得梁肆意截面上 的弯矩方程和剪力方程别离为 能够写成 。 式 (l) 3-10 如题 3-10 图所示的悬臂梁,长度为 l,高度为 h, lh,在上鸿沟受均布荷 载 q, 试查验应力函数 问题的解?如能够,试求出应力分量。 可否成为此 解 (1)相容前提 将 代 入 相 容 方 程 , 得 ,若满足相容方程,有 (2)应力分量表达式 (3)调查鸿沟前提;次微信彩票群骗局揭秘要鸿沟 上,应切确满足应力鸿沟前提 在次要鸿沟上 x=0 上,主矢和主矩为零,使用圣维南道理,用三个积分的应力边 界前提取代 (e) 联立求解式(a),(b),(c),(d)和(e) ,得 将各系数代入应力分量表达式,得 3-12 为什么在次要鸿沟(占鸿沟绝大部门)上必需满足切确的应力鸿沟条 件,教材中式(2-15) ,而在次要鸿沟(占鸿沟很小部门)上能够使用圣维南原 理,用三个积分的应力鸿沟前提(即主矢量、主矩的前提)来取代?若是在次要 鸿沟上用三个积分的应力鸿沟前提取代教材中式(2-15) ,将会发生什么问题? 解: 弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题,而要鸿沟前提完全获得 满足,往往碰到很大的坚苦。这时,圣维南道理可为简化局部鸿沟上的应力鸿沟 前提供给很大的便利。 将物体一小部门鸿沟上的面力换成分布分歧,但静力等效 的面力(主矢、主矩均不异) ,只影响近处的应力分布,对远处的应力影响能够 忽略不计。 若是在占鸿沟绝大部门的次要鸿沟上用三个应力鸿沟前提来取代切确 的鸿沟前提。教材中式(2-15) ,就会影响大部门区域的应力分布,会使问题的 解答具有的近似性。 3-15 试阐发简支梁受均布荷载时,平面截面假设能否成立? 解:弹性力学解答和材料力学解答的不同,是因为各自解法分歧。简言之, 弹性力学的解法,是严酷考虑区域内的均衡微分方程,几何方程和物理方程,以 及鸿沟上的鸿沟前提而求解的, 因此得出的解答是比力切确的。而在材料力学中 没有严酷考虑上述前提,因此得出的是近似解答。例如,材料力学中援用了平面 假设而简化了几何干系,但这个假设对一般的梁是近似的。所以,严酷来说,不 成立。 例 4-2 如图所示楔形体右侧面受均布荷载 q 感化,试求应力分量。 【解】 (1)楔形体内任一点的应力分量决定于 q、 ρ 、 ? , ? 此中 q 的量纲为 NL-2,与应力的量纲不异。 因而,各应力分量的表达式只可能取 Kq 的形式,而 K 是以 ? , ? 暗示的无量纲函数,亦即应力表达式中不 ? 2? 能呈现ρ ,再由 ? ? ? 2 知,应力函数 ?? ? 应是 ? 的函 数乘以 ? 2 ,可设 ? ? ? 2 f (? ) (a) 将式(a)代入双和谐方程 ? ?2 1 ? 1 ?2 ? ? ? ? ?? 2 ? ?? ? 2 ?? 2 ? ? ? ? ? ? 0, ? 2 得 1 ? d 4 f (? ) d 2 f (? ) ? ? 4 ? ? 0, 4 d ? ?2 ? d ? ? ? d 4 f (? ) d 2 f (? ) =0, ? 4 d? d? 4 上式的通解为 f (? ) ? A cos2? ? B sin 2? ? C? ? D , 将上式代入式(a) ,得应力函数为 ? ? ? 2 ( A cos2? ? B sin 2? ? C? ? D) 。 (b) (2)应力表达式为 ?? ? ?? ? 1 ?? 1 ? 2 ? ? ? 2(? A cos 2? ? B sin 2? ? C? ? D), ? ?? ? 2 ?? 2 ? 2? ? 2( A cos 2? ? B sin 2? ? C? ? D), ?? 2 1 ?? 1 ? 2 ? ? ? 2 A sin 2? ? 2 B cos 2? ? C。 ? 2 ?? ? ???? (c) ? ?? ? (3)应力鸿沟前提 (? ? )? ?0 ? ?q ,得 2(A+D)=-q ; (d) (e) (f) (g) (? ? )? ?? ? 0 ,得 Acos2 ? +B sin2 ? +C ? +D=0, (? ?? )? ?0 ? 0 ,得-2B-C=0, (? ?? )? ?? ? 0 ,2Asin2 ? -2Bcos2 ? -C=0 。 联立求解式(d)-(g),得各系数 A?? q q tan? ,B ? , 4(tan? ? ? ) 4(tan? ? ? ) q q(tan? ? 2? ) ,D ? ? 。 4(tan? ? ? ) 2(tan? ? ? ) C?? 将系数代入(c),得应力分量 tan? (1 ? cos 2? ) ? (2? ? sin 2? ) , 2(tan? ? ? ) tan? (1 ? cos 2? ) ? (2? ? sin 2? ) ? ? ? ?q ? q, 2(tan? ? ? ) (1 ? cos 2? ) ? tan? sin 2? ? ?? ? q。 2(tan? ? ? ) ? ? ? ?q ? (h) 阐发:应力函数表达式(a)中不呈现 ? ,这是由于 f( ? )中包含了 ? 角 (在使用应力鸿沟前提时, ? ? ? 处 (? ? )? ?? ? 0 , (? ?? )? ?? ? 0 中表现) 。 4-3 在轴对称位移问题中,试导出按位移求解的根基方程,并证明 u ? ? A? ? B ? , u? ? 0 能够满足此根基方程。 【解】 (1)设 u ? ? u( 代入几何方程,教材中式(4-2)得 , ? ?),u ? ? 0 形变分量 ?? ?u ? ?? ,? ? ? u? ? ,? ?? ? 0 (a) 将式(a)代入物理方程,教材中式(4-3)得用位移暗示的应力分量 u? E ?u ? ( ? u ), ? 1 ? u 2 ?? ?u ? u ? E ?? ? (u ? ), 2 ?? ? 1? u ? ?? ? 0 ?? ? (b) 将式(b)代入均衡微分方程,教材中式(4-1) ,在轴对称问题中, 均衡方程为 ?? ? 1 ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 0, ?? ? ?? ? 1 ?? ? ?? ?? 2? ?? ? ? ?0 ? ?? ?? ? ? (c) 式(c)中的第二式天然满足,第一式为 d 2u ? d? 2 ? 1 du? u ? ? ?0 ? d? ? 2 (d) 上式即为求 u? 的根基方程。 (2)将 u ? ? A? ? , u? ? 0 将代入式(d) ,很明显满足方程。 ? B 4-7 实心圆盘在 ? ? r 的周界上受有均布压力 q 的感化,试导出其解 答。 【解】实心圆盘是轴对称的,可援用轴对称应力解答,教材中式 (4-11) ,即 ?? ? A ?2 ? B(1 ? 2 ln ? ) ? 2C , ? B(3 ? 2 ln ? ) ? 2C , ?? ? ? A ?2 ( a) ? ?? ? ? ?? 起首,在圆盘的周界( ? ? r )上,有鸿沟前提 (? ? ) ? ?r ? ?q ,由此得 A ? B(1 ? 2 ln r ) ? 2C ? ?q , r2 (b) 其次,在圆盘的圆心,当 ? ? 0 时式(a)中 ? ? ,? ? 的第一、第二项均 趋于无限大,这是不成能的。按照无限值前提(即,除了应力集中点 以外,弹性体上的应力应为无限值。 ) ,当 ? ? 0 时,必需有 A=B=0。 把上述前提代入(b)式中,得 C ? ?q 2 所以,得应力的解答为 ? ? ? ? ? ? ?q,? ?? ? 0 4-9 半平面体概况上受有均布程度力 q,试用应力函数? ? ? 2 (B sin 2? ? C? ) 求 解应力分量,如题 4-9 图所示。 【解】(1)相容前提: 将应力函数 ? 代入相容方程 ? 4 ? ? 0 ,明显满足。 (2)由 ? 求应力分量表达式 ? ? ? ?2 B sin 2? ? 2C? , ? ? ? 2 B sin 2? ? 2C? , ? ?? ? ?2 B cos 2? ? C (3)考虑鸿沟前提:留意本题有两个 ? 面,即 ? ? ? ,别离为 ? ? 面, 2 ? 在 ? ? 面上,应力符号以反面正向、负面负向为正。因而,有 ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? 2 2 ? 0, 得C ? 0 q 2 ? ?q, 得B ? ? 将各系数代入应力分量表达式,得 ? ? ? q sin 2? , ? ? ? ? q sin 2? , ? ?? ? q cos 2? 4-12 楔形体在两侧面上受有均布剪力 q,如题 4-12 图所示,试求其应力分量。 【解】 (1)使用应力函数 ? ? ? 2 ( A cos2? ? B sin 2? ? C? ? D) ,进行求解。 由应力函数 ? 得应力分量 ?? ? ?? ? ? ?? 1 ?? 1 ? 2 ? ? ? ?2( A cos 2? ? B sin 2? ? C? ? D), ? ?? ? 2 ?? 2 ? 2? ? 2( A cos 2? ? B sin 2? ? C? ? D), ?? 2 ? 1 ?? ?? ( ) ? 2 A sin 2? ? 2 B cos 2? ? C ?? ? ?? (2)调查鸿沟前提:按照对称性,得 ?? ? ?? 2 ? 0; (a) (b) (c) (d) (e) (f) ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 同式(a)得 同式(b)得 同式(c)得 同式(d)得 2 ? q; ? ?? 2 ? 0; ? ?q ?? ?? 2 2Acos ? ? 2Bsin? ? C? ? 2D ? 0; 2Asin? ? 2Bcos? ? C ? q; 2Acos ? ? 2Bsin? ? C? ? 2D ? 0; ? 2Asin? ? 2Bcos? ? C ? ?q; (g) (h) 式(e) 、(f) 、(g)、 (h)联立求解,得 q q , B ? C ? 0, D ? ? cot ? 2 sin ? 2 将以上各系数代入应力分量,得 A? ? cos 2? ? ? cot? ?, ? sin ? ? ? cos 2? ? ? ? ? q? ? cot? ?, ? sin ? ? sin 2? ? ?? ? q sin ? ? ? ? ? q? 4-14 设有一刚体,具有半径为 R 的圆柱形孔道,孔道内放置外半径为 R 而内半径 为 r 的圆筒,圆筒受内压力为 q,试求圆筒的应力。 【解】本题为轴对称问题,故环向位移 u? ? 0 ,别的还要考虑位移的单值前提。 (1)应力分量 援用轴对称应力解答,教材中式(4-11) ,取圆筒解答中的系数为 A,B,C,刚体 解答中的系数为 A' ,B' ,C'由多连体中的位移单值前提,有 B=0, (a) B'=0 (b) 此刻,取圆筒的应力表达式为 ?? ? A ? 2 ? 2C ,? ? ? ? A ?2 ? 2C (c) 刚体的应力表达式 ? ? ? A ? 2 ? 2C , ? ? ? ? A ?2 ? 2C (d) 考虑鸿沟前提和接触前提来求解常数 A,A',C,C'和响应的位移解答。 起首,在圆筒的内面,有鸿沟前提 (? ? ) ? ?r ? ?q ,由此得 A ? 2C ? ? q r2 其次,在远离圆孔处,该当几乎没有应力,于是有 (e) (? ? ) ? ?? ? 0, (? ? ) ? ?? ? 0 由此得 2C'=0 再次,圆筒和刚体的接触面上,该当有 , (f) ?? ? ? ? ?R ? ?? ? ?? ? R A A ? 2C ? 2 ? 2C 2 R R 于是有式(c)及式(d)得 (g) (2)平面应变问题的位移分量 使用教材中式(4-12)的第一式,稍加简化能够写出圆筒和刚体的径向位移表达 式 u? ? 1? u ? A? 2(1 ? 2u)C? ? ? ? I cos? ? K sin ? , ? E ? ?? (h) u ? ? 0 (i) 刚体的径向位移为零,在接触面上,圆筒与刚体的位移不异且都为零,即 ?u ? 将式(h)和式(i)代入,得 ? ? ?R ? ?u ? ?? ? R ? 0 1? u ? A? 2(1 ? 2u )CR ? ? ? I cos? ? K sin ? ? 0 ? E ? R? ? 取任何值都成立, 方程在接触面上的肆意点都成立, 方程两边的自在项必需相等。 于是得 1? u ? A? 2(1 ? 2u )CR ? ? ? 0 ? E ? R? 简化并操纵式(f) ,得 A ? 2(1 ? 2u) R 2 C (3)圆筒的应力 把式(j)代入式(e) ,得 (j) (1 ? 2u)qr 2 R 2 qr 2 A?? ,C ? ? ?1 ? 2u ?R 2 ? r 2 2 ?1 ? 2u ?R 2 ? r 2 ? ? ? ? 圆筒的应力为 1 1 ? 2u 1 ? 2 2 ? R ?2 R ?? ? q, ? ? ? q 1 ? 2u 1 1 ? 2u 1 ? 2 ? 2 r2 R r2 R 2 1 ? 2u ? 4-18 设半平面体在直鸿沟上受有集中力偶,单元宽度上力偶矩为 M,如题 4-18 图所示,试求应力分量。 【解】使用半逆解法求解。 (1) 按量纲阐发方式, 单元宽度上的力偶矩与力的量纲不异。 应力 应与 M , ? ,? 相关,因为应力的量纲是单元面积上的力,即 L-1MT-2,应力只能以 M ?2 形势组合。 (2) ? 应比应力的长怀抱纲高二次幂,可假设 ? ? ??? ? 。 (3) 将 ? 代入相容方程,得 1 ? d 4? d 2? ? ? ??0 ? 4 4 ?4 ? d? 2 ? ? d? ? 删去因子 1 ? 4 ,得一个关于 ??? ?的常微分方程。令其解为 ? ? e 2? , 代入上式,可获得一个关于 ? 的特征方程, ?2 ??2 ? 4? ? 0, (a) 其解为 ? ? 2i,?2i,0,0 ,于是获得 ? 的四个解 ae2i? , be?2i? , c?, d ;前两项又可 以组合为正弦、余弦函数。由此得 ? ? A cos2? ? B sin 2? ? C? ? D (b) 本题中布局对称于 ? ? 0 的 x 轴,而 M 是否决称荷载,因而,应力应反 对称于 x 轴,为 ? 的奇函数,从而得 A=D=0。 ? ? B sin 2? ? C? (c) (4)由应力函数 ? 得应力分量的表达式 ?? ? ? ? ? ? 0, ? ?? ? 1 1 ?2 4 B sin 2? , ?2 ?2 B cos 2? ? c ? (5)调查鸿沟前提。因为原点 O 有集中力偶感化,应别离调查大鸿沟 上的前提和原点附近的前提。 在 ? ? 0, ? ? ? ? 2 的鸿沟上,有 ?? ? ? ? ? 0 ,? ? ?? 2 ? 0, ?? ?? ?? ?0,? ? ?? ? 0 2 前一式天然满足,而第二式成为 2B=C (d) 为了考虑原点 O 附近有集中力偶的感化, 取出以 O 为核心,? 为半径的 一小部门手开体,并列出其均衡前提 ? Fx ? 0, ? ?2 ?? ? ?? ? ? cos??d? ? (? ?? ) ? ? ? sin ??d? ? 0, ? ? 2 ? Fy ? 0, ? ?2 ? ? 2 ? ??? 2 ? ? ?? ? sin ??d? ? (? ?? ) ? ? ? ? cos??d? ? ? 0, ?M O ? 0, ? ?2 ?? ?? ? ? ? ? 2 d? ? M ? 0 ? ?? 上式中前两式天然满足,而第三式成为 2B ? ? M ? , (e) 将式(e)代入式(d),得 C?? M ? , 将各系数代入应力分量的表达式,得 ? ?? 2 M sin 2? ? ?2 , ? ? ? 0, ? ?? ? ? M cos 2? ? 1 ? ?2 6-1 试证:在三结点三角形单位内的肆意一点,有 6-9 对于题 6-9 图所示的四结点平面四边形单位,若取位移模式为 试调查此位移模式的收敛前提,并列出求解其系数 的方程。

(编辑:admin)
http://dantescafe.net/xuanbiban/981/