4.图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用

作者:admin 来源:未知 点击数: 发布时间:2018年12月15日

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  1.设有矩形截面的竖柱,其密度为ρ,在一边侧面上受均布剪力q,如图1,试求应力分量。 图1 解:采用半逆解法,设 。 导出使其满足双和谐方程: 取肆意值时,上式都应成立,因此有: 式中, 中略去了常数项, 中略去了 的一次项及常数项,由于它们对应力无影响。 (1) (1) 含待定常数的应力分量为: 操纵鸿沟前提确定常数,并求出应力解答: 能天然满足: 能天然满足: (3) (2) (3) 不克不及切确满足,只能近似满足: 由式(3)、(4)解出常数 和 ,进而可求得应力分量: (4) (4) (4) (5) 图2 (a) (b) 2.如图2(a),三角形悬臂梁只受重力感化,梁的密度为,试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。 解: 1.设应力函数为: 不难验证其满足 。所以应力分量为: 2.用鸿沟前提确定常数,进而求出应力解答: 上鸿沟: 斜边: 解得: 3.若是 为平面和谐函数,它满足 ,问 能否可作为应力函数。 解:将 代入相容前提,得: 满足双和谐方程,因而,可作为应力函数。将 代入相容前提得 ?1 也能作为应力函数。把 代入相容前提,得: 所以, 也可作为应力函数。 4.图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载感化,试取应力函数为: ,求简支梁的应力分量(体力不计)。 O y l x l h 解:由满足相容方程确定系数A与B的关系: 含待定系数的应力分量为 由鸿沟前提确定待定系数: 、 由以上式子可求得: 由此可解得: 应力分量为 5.如图所示,右端固定悬臂梁,长为l,高为h,在左端面上受分布力感化(其合力为P)。不计体力,试求梁的应力分量。 P y O h l x 解:用凑和幂次分歧的双和谐多项式函数的半逆解法来求解。明显,应力函数 所对应的面力,在梁两头与本题相分歧,只是该函数在上、下鸿沟面上多出了一个大小为 的剪应力,为了抵消它,在应力函数 上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数 : 由均衡前提得含有待定系数的应力表达式为: 操纵鸿沟前提确定,并求出应力分量: 上、下鸿沟: 左端部: 解得: 6.试调查应力函数在图3-8所示的矩形板和坐标系中能处理什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容前提: 非论系数a取何值,应力函数总能满足应力函数暗示的相容方程,式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时,将应力函数代入公式(2-24),得 ⑶调查鸿沟前提 上下鸿沟上应力分量均为零,故上下鸿沟上无面力. 摆布鸿沟上; 当a0时,调查分布环境,留意到,故y向无面力 左端: 右端: 应力分布如图所示,其时使用圣维南道理能够将分布的面力,等效为主矢,主矩 A 主矢的核心在矩下鸿沟位置。即本题环境下,可处理各类偏疼拉伸问题。 偏疼距e: 由于在A点的应力为零。设板宽为b,集中荷载p的偏疼距e: 同理可知,当0时,能够处理偏疼压缩问题。 7.试调查应力函数,能满足相容方程,并求出应力分量(不计体力),画出图3-9所示矩形体鸿沟上的面力分布(在小鸿沟上画出头具名力的主矢量和主矩),指出该应力函数能处理的问题。 【解答】(1)将应力函数代入相容方程(2-25) ,明显满足 (2)将 QUOTE 代入式(2-24),得应力分量表达式 (3)由鸿沟外形及应力分量反推鸿沟上的面力: ①在次要鸿沟上(上下鸿沟)上,,应切确满足应力鸿沟前提式(2-15),应力 因而,在次要鸿沟上,无任何面力,即 ②在x=0,x=l的次要鸿沟上,面力别离为: 因而,各鸿沟上的面力分布如图所示: ③在x=0,x=l的次要鸿沟上,面力可写成主矢、主矩形式: x=0上 x=l上 因而,能够画出次要鸿沟上的面力,和次要鸿沟上面力的主矢与主矩,如图: (a) (b) 因而,该应力函数可处理悬臂梁在自在端受集中力F感化的问题。 8.设有矩形截面的长竖柱,密度为ρ,在一边侧面上受均布剪力q(图3-10),试求应力分量。 【解答】采用半逆法求解。 由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。 按照材料力学,弯曲应力次要与截面的弯矩相关,剪应力次要与截面的剪力相关,而挤压应力次要与横向荷载相关,本题横向荷载为零,则 (2)推寻应力函数的形式 将,体力,代入公式(2-24)有 对y积分,得 (a) (b) 此中都是x的待定函数。 (3)由相容方程求解应力函数。 将(b)式代入相容方程(2-25),得 (c) 在区域内应力函数必需满足相容方程,(c)式为y的一次方程,相容方程要求它有无数多个根(全竖柱内的y值都应满足它),可见其系数与自在项都必需为零,即 两个方程要求 (d) 中的常数项,中的常数项和一次项已被略去,由于这三项在的表达式中成为y的一次项及常数项,不影响应力分量。将(d)式代入(b)式,得应力函数 (e) (4)由应力函数求应力分量 (f) (g) (h) (5)调查鸿沟前提 操纵鸿沟前提确定待定系数A、B、C、D、E。 次要鸿沟上(左): 将(f),(h)代入 ,天然满足 (i) 次要鸿沟上, ,天然满足 ,将(h)式代入,得 (j) 在次要鸿沟上,使用圣维南道理,写出三个积分的应力鸿沟前提: (k) (l) (m) 由式(i),(j),(k),(l),(m)联立求得 代入公式(g),(h)得应力分量 9.设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力感化,而梁的密度为,试用纯三次式的应力函数求解。 【解答】采用半逆解法求解 (1) 查验应力函数能否满足相容方程(2-25) 设应力函数,非论上式中的系数若何取值,纯三次式的应力函数总能满足相容方程(2-25) (2) 由式(2-24)求应力分量 由体力分量,将应力函数代入公式(2-24)得应力分量: (a) (b) (c) (3)调查鸿沟前提:由应力鸿沟前提确定待定系数。 ①对于次要鸿沟,其应力鸿沟前提为: , (d) 将式(d)代入式(b),(c),可得 (e) ②对于次要鸿沟(斜面上),应力鸿沟前提: 在斜面上没有面力感化,即,该斜面外法线标的目的余弦为,,.由公式(2-15),得应力鸿沟前提 (f) 将式(a)、(b)、(c)、(e)代入式(f),可解得 (g) 将式(e)、(g)代入公式(a)、(b)、(c),得应力分量表达式: 10. 设单元厚度的悬臂梁在左端遭到集中力和力矩的感化,体力能够不计,lh,图3-5,试用应力函数Φ=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解应力分量。 解:本题是较典型的例题,曾经给出了应力函数Φ,可按下列步调求解。 1.将Φ代入相容方程,明显是满足的。 2.将Φ代入式(2-24),求出应力分量 3.考虑鸿沟前提:次要鸿沟y=±h/2上,应切确满足式(2-15), 在次要鸿沟x=0上,只给出了面力的主矢量和主矩,使用圣维南道理,用三个积分的鸿沟前提取代。留意x=0是负x面,图3-5中暗示了负x面上σx,和τxy的正标的目的,由此得 由式(a),(b)解出 最初一个次要鸿沟前提(x=l上),在均衡微分方程和上述鸿沟前提均已满足的前提下,是必需满足的,故不必再校核。 代入应力公式,得 11. 挡水墙的密度为ρ1,厚度为b,图3-6,水的密度为ρ2,试求应力分量。 解:用半逆解法求解 1.假设应力分量的函数形式,由于在y=-b/2鸿沟上,σy=0;y=b/2鸿沟上,σy=-ρ2gx,所以可假设在区域内σy为 2.推寻应力函数的形式。由σy猜测Φ的形式, 3.由相容方程求应力函数。将Φ代入▽4Φ=0,得 要使上式在肆意的x处都成立,必需 代入Φ,即得应力函数的解答,此中已略去了与应力无关的一次式。 4.由应力函数求应力分量,将Φ代入式(2-24),留意体力fx=ρ1g,fy=0,求得应力分量为 5.考虑鸿沟前提:在次要鸿沟y=±b/2上,有 由上式获得 求解各系数,由 (a)+(b)得 (a)-(b)得 (c)-(d)得 (c)+(d)得 由此得 又有 (e)-(f)得 (e)+(f)得 代入A,得 在次要鸿沟(小鸿沟)x=0上,列出三个积分的鸿沟前提: 由式(g),(h)解出 代入应力分量的表达式,得应力解答: 12. 已知 试问它们可否作为平面问题的应力函数? 解:作为应力函数,必需起首满足相容方程, 将Φ代入, (a)此中A=0,才可成为应力函数;(b)必需满足 3(A+E)+C=0,才可成为应力函数。 13. 图3-7所示的矩形截面柱体,在顶部受有集中力F和力矩 M= 的感化,试用应力函数 求解图示问题的应力及位移,设在A点的位移和转角均为零。 解:使用应力函数求解: (1)校核相容方程 ▽4Φ=0,满足。 (2)求应力分量,在无体力时,得 (3)考虑次要鸿沟前提 ,均已满足。考虑次人鸿沟前提,在y=0上, 代入,得应力的解答, 上述Φ和应力已满足了▽4Φ=0和全数鸿沟前提,因此是上述问题的解。 (4)求应变分量, (5)求位移分量, 将u,v代入几何方程第三式 两边分隔变量,并令都等于常数ω,即 从上式别离积分,求出 代入u,v,得 再由刚体束缚前提, 代入u,v,获得位移分量的解答: 在极点x=y=0。 14.矩形截面的简支梁上,感化有三角形分布荷载,图3-8。 试用下列应力函数 求解应力分量。 解:使用上述应力函数求解:、 (1)将Φ代入相容方程 由此, (2)求应力分量,在无体力下,得 (3)考虑次要鸿沟前提(y±h/2), 对于肆意的x值,上式均应满足,由此得 由(c)+(d)得 由(c)-(d)得 由(e)-(a)得 (4)考虑小鸿沟上的鸿沟前提(x=0),由 得 由式(b)和(f)解出 另两个积分的鸿沟前提, 明显是满足的。 于是,将各系数代入应力表达式,得应力解答: 读者试校核在x=l的小鸿沟上,下列前提都是满足的。 15. 矩形截面的柱体遭到顶部的集中力和力矩M的感化。图3-9,不计体力,试用应力函数 求解其应力分量。 解:使用上述应力函数求解: (1)代入相容方程,▽4Φ=0,满足。 (2)求应力分量,在无体力下,得 (3)调查鸿沟前提。在次要鸿沟, 在次要鸿沟x=0, 再由(a),(b)式解出 代入,得应力解答, 16. 试由应力函数 求解图3-10所示的半无限平面体在x≤0的鸿沟上受均布压力q的问题。 解:应校核相容方程的鸿沟前提,若这些前提均满足,就能够求出其应力分量。 本题得出的应力解答是 17.试由应力函数 求解图3-11所示的半平面体在x≤0的鸿沟上受均布切力q的问题 解:应力函数Φ应满足相容方程和鸿沟前提,若这些前提均满足,就能够求出其应力分量。 本题得出的应力解答是 18.半平面体概况上受有均布程度面力2q,试用应力函数求解应力分量,如图 解:(1)因为,而相容方程,故满足,验证相容方程满足; (2)求出应力分量如下: (3)代入鸿沟的应力鸿沟前提,得: (4)获得应力分量的表达式为: 19.半平面体概况上受有均布程度面力2q,试用应力函数求解应力分量,如图(12分) 解(1)因为,而相容方程,故满足,验证相容方程满足; (2)求出应力分量如下: (3)代入鸿沟的应力鸿沟前提,得: (4)获得应力分量的表达式为: 20.如图所示矩形截面简支梁,长度为,高度为(,),在上鸿沟受三角形分布荷载感化,试取应力函数为:,求简支梁的应力分量(体力不计)。 O 解(1)将代入相容方程, 由此, (2)求应力分量,在无体力下,得 (3)调查次要鸿沟前提, 对于肆意的x值,上式均应满足,由此得 (a) (b) (c) (d) 由(c)+(d)得 。 由(c)-(d)得 (e) 由(e)-(a)得 (4)调查小鸿沟上的鸿沟前提(x=0),由 得 (f) 由式(b)和(f)解出 另两个积分的鸿沟前提: 明显是满足的。 (5)于是,将各系数代入应力表达式,得应力解答: 经校核在x=l的小鸿沟上,下列前提也是满足的: 。 21.楔形体右边垂直,左边与垂直标的目的成角45o,下端无限长,不计体力,右边遭到均布程度标的目的的面力q感化,试用半逆解法求应力分量。 解: 解法1--- (1)假设部门应力的形式并推寻应力函数的形式 用量刚阐发认为,各个应力分量只可能是x和y的纯一次式。而应力函数较长怀抱刚高两次,该当是x和y的纯三次式,因而假定: (2)验证上式满足相容方程。明显满足 (3)求解应力分量的具体形式 (4)调查鸿沟前提 第一个鸿沟x=0应力鸿沟前提为: 代入上式并代入鸿沟方程x=0可得: 因而应力分量变化为: 第二鸿沟x=y的应力鸿沟前提为: 而: 所以: (5)求解应力分量 最初得出应力分量为: 解法2--- (1)假设 (2)代入相容方程: 获得: (3)代入鸿沟前提 第一个鸿沟x=0应力鸿沟前提为: 第二鸿沟x=y的应力鸿沟前提为: 而: 获得: (4)求解应力分量 22.如图所示楔形体右侧面受均布荷载q感化,试求应力分量。  SHAPE \* MERGEFORMAT   SHAPE \* MERGEFORMAT  【解】(1)楔形体内任一点的应力分量决定于q、ρ、,此中q的量纲为NL-2,与应力的量纲不异。 因而,各应力分量的表达式只可能取Kq的形式,而K是以,暗示的无量纲函数,亦即应力表达式中不克不及呈现ρ,再由知,应力函数应是的函数乘以,可设 (a) 将式(a)代入双和谐方程 , 得 , =0, 上式的通解为 , 将上式代入式(a),得应力函数为 。 (b) (2)应力表达式为 (c) (3)应力鸿沟前提 ,得2(A+D)=-q ; (d) ,得Acos2+B sin2+C+D=0, (e) ,得-2B-C=0, (f) ,2Asin2-2Bcos2-C=0 。 (g) 联立求解式(d)-(g),得各系数 ,, ,。 将系数代入(c),得应力分量 (h) 23.楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如下图所示,试求其应力分量。 【解】(1)使用应力函数,进行求解。 由应力函数得应力分量 (2)调查鸿沟前提:按照对称性,得 (a) (b) (c) (d) 同式(a)得 (e) 同式(b)得 (f) 同式(c)得 (g) 同式(d)得 (h) 式(e) 、(f) 、(g)、 (h)联立求解,得 将以上各系数代入应力分量,得 24. 图示悬臂梁,梁的横截面为矩形,其宽度取为1,右端固定、左端自在,荷载分布在自右端上,其合力为P(不计体力),求梁的应力分量。 解:这是一个平面应力问题,采用半逆解法求解。 (1)拔取应力函数。由材料力学可知,悬臂梁任一截面上的弯矩方程M(x)与截面位置坐标x成反比,而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成反比,因而可设  QUOTE  (a) 式中 QUOTE 的为待定常数。将式(a)对y积分两次,得  QUOTE  (b) 式中的 QUOTE , QUOTE 为x的待定函数,可由相容方程确定。将式(b)代入相容方程  QUOTE , 得  QUOTE  上式是y的一次方程,梁内所有的y值都应是满足它,可见它的系数和自在项都必需为零,即  QUOTE , QUOTE  积分上二式,得 式中 QUOTE 为待定的积分常数。将 QUOTE , QUOTE 代入式(b),得应力函数为  QUOTE . (c) (2)应力分量的表达式  QUOTE   QUOTE  (3)调查应力鸿沟前提:以确定各系数,自在端无程度力;上、下部无荷载;自在端的剪力之和为P,得鸿沟前提  QUOTE  ,天然满足;  QUOTE  ,得 QUOTE ; 上式对x的任何值均应满足,因而得 QUOTE , QUOTE ,即  QUOTE ,得 QUOTE  X取任何值均应满足,因而得 QUOTE . 将式(e)代入上式积分,得 计较得  QUOTE , QUOTE  此中 QUOTE ,横截面临Z轴的惯性矩。 最初得应力分量为  QUOTE  25. 试调查应力函数 QUOTE 能满足相容方程,并求出应力分量(不计体力),画出题3-2图所示矩形体鸿沟上的面力分布(在次要鸿沟上暗示出头具名力的主矢量和主矩),指出该应力函数所能处理的问题。 解 (1)相容前提: 将代入相容方程 QUOTE ,明显满足。 (2)应力分量表达式 (3)鸿沟前提:在 QUOTE 次要鸿沟上,应切确定满足应力鸿沟前提 在次要鸿沟x=o, x=l上,使用圣维南道理,可列出三个积分的应力鸿沟前提  QUOTE  (a)  QUOTE  (b)  QUOTE  (c) 对于如图所示矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,由应力鸿沟前提式(a)(b)、(c)可知上边、下边无面力;而右边界上受有铅直力;左边界上有按线性变化的程度面力合成为一力偶,和铅直面力。所以,能处理悬臂在自在端受集中力感化的问题。 26. 如题3-6图所示的墙,高度为h,宽度为b,hb,在两侧上遭到均布剪力q的感化,试用函数 QUOTE 求解应力分量。 解:(1)相容前提 将应力函数代入相容方程 QUOTE ,此中  QUOTE , QUOTE , QUOTE 。 很明显满足相容方程。 (2)应力分量表达式 (3)调查鸿沟前提,在次要鸿沟 QUOTE 上,各有两个应切确满足的鸿沟前提,即 在次要鸿沟y=0上, QUOTE 而的前提不成能切确满足(不然只要A=B=0),可用积分的应力鸿沟前提取代  QUOTE . (4)把各应力分量代入鸿沟前提,得 应力分量为 27. 设单元厚度的悬臂梁在左端遭到集中力和力矩感化,体力能够不计,lh 如题3-7图所示,试用应力函数 QUOTE 求解应力分量。 解(1)相容前提 将 QUOTE 代入相容方程,明显满足。 (2)应力分量表达式 (3) 调查鸿沟前提,在次要鸿沟 QUOTE 上,各有两个应切确满足的鸿沟前提 得 QUOTE  (a) 在次要鸿沟x=0上,只给出了面力的主矢量和主矩,使用圣维南道理,用三个积分的应力鸿沟前提取代。留意x=0是负x面,由此得  QUOTE  (b) 由式(a)(b)解出 最初一个次要鸿沟前提(x=l上),在均衡微分方程和上述鸿沟前提均已满足的前提下,是必然满足的,故不必再校核。代入应力公式,得  QUOTE   QUOTE   QUOTE  28.设题3-9图中的简支梁只受重力感化,而梁的密度为,试用教材§3-4中的应力函数(e)求解应力分量,并画出截面上的应力分布图。 解 (1)应力函数为 (2)应力分量的表达式 这些应力分量是满足均衡微分方程和相容方程的,因而,若是可以或许选择恰当的常数A,B,…,K,使所有的鸿沟前提都满足,则应力分量式(b),(c),(d)就是准确的解答。 (3)考虑对称性。由于yz面是梁和荷载的对称面,所以应力分布该当对称于yz面。如许是 QUOTE 是x的偶函数,而 QUOTE 是x的奇函数,于是由式(b)和(d)可见 (4)调查鸿沟前提:在次要鸿沟 QUOTE 上,应切确满足应力鸿沟前提 将应力分量式(c)和(d)代入,并留意到前面已有 QUOTE ,可见这些鸿沟前提要求 联立求解获得 将以上已确定的常数代入式(b),式(c)和(d),得 考虑摆布两边的次要鸿沟前提。因为问题的对称性,只需考虑此中的一边,例如左边。梁的左边没有程度面力,x=l时,非论y取任何值 QUOTE ,都有 QUOTE 。由式(f)可见,这是不成能满足的,除非 QUOTE 是均为零。因而,用多项式求解,只能要求 QUOTE 在这部门鸿沟上合成的主矢量和主矩均为零,也就是要求 将式(f)代入式(i),得 积分当前得 将式(f)代入式(j),得 积分当前得 将K,H的值代入式(f),得 另一方面,梁左边的切应力 QUOTE 该当合成为反力 QUOTE  积分当前,可见这一前提是满足的。 将式(g),(h),(k)略加拾掇,得应力分量的最初解答  QUOTE   QUOTE   QUOTE  留意梁截面的宽度取为一个单元,可见惯性矩是 QUOTE ,静矩是 QUOTE 。按照材料力学使用截面法求横截面的内力,可求得梁肆意截面上的弯矩方程和剪力方程别离为 QUOTE 。式(l)能够写成 29. 如题3-10图所示的悬臂梁,长度为l,高度为h, lh,在上鸿沟受均布荷载q,试查验应力函数 QUOTE 可否成为此问题的解?如能够,试求出应力分量。 解 (1)相容前提 将 QUOTE 代入相容方程,得 QUOTE ,若满足相容方程,有 (2)应力分量表达式 (3)调查鸿沟前提;次要鸿沟 QUOTE 上,应切确满足应力鸿沟前提 在次要鸿沟上x=0上,主矢和主矩为零,使用圣维南道理,用三个积分的应力鸿沟前提取代  QUOTE   QUOTE  (e)  QUOTE  联立求解式(a),(b),(c),(d)和(e),得 将各系数代入应力分量表达式,得 30. 为什么在次要鸿沟(占鸿沟绝大部门)上必需满足切确的应力鸿沟前提,教材中式(2-15),而在次要鸿沟(占鸿沟很小部门)上能够使用圣维南道理,用三个积分的应力鸿沟前提(即主矢量、主矩的前提)来取代?若是在次要鸿沟上用三个积分的应力鸿沟前提取代教材中式(2-15),将会发生什么问题? 解:弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题,而要鸿沟前提完全获得满足,往往碰到很大的坚苦。这时,圣维南道理可为简化局部鸿沟上的应力鸿沟前提供给很大的便利。将物体一小部门鸿沟上的面力换成分布分歧,但静力等效的面力(主矢、主矩均不异),只影响近处的应力分布,对远处的应力影响能够忽略不计。若是在占鸿沟绝大部门的次要鸿沟上用三个应力鸿沟前提来取代切确的鸿沟前提。教材中式(2-15),就会影响大部门区域的应力分布,会使问题的解答具有的近似性。华人彩票登录线路一众购彩票网是合法的吗乐盛彩票网

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